.. _chap_notation:

記法
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| 本書全体を通して、以下の記法規則に従います。
| これらの記号の一部はプレースホルダであり、他のものは特定の対象を指します。
| 一般的な目安として、不定冠詞の “a”
  はしばしば、その記号がプレースホルダであり、同じ形式の記号が同種の別の対象を表しうることを示します。
| たとえば、“:math:`x`: a scalar”
  は、小文字の文字が一般にスカラー値を表すことを意味しますが、“:math:`\mathbb{Z}`:
  the set of integers” は記号 :math:`\mathbb{Z}`
  を特定して指しています。

数値オブジェクト
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-  :math:`x`: スカラー
-  :math:`\mathbf{x}`: ベクトル
-  :math:`\mathbf{X}`: 行列
-  :math:`\mathsf{X}`: 一般のテンソル
-  :math:`\mathbf{I}`:
   単位行列（ある与えられた次元のもの）、すなわち対角成分がすべて
   :math:`1`\ 、非対角成分がすべて :math:`0` の正方行列
-  :math:`x_i`, :math:`[\mathbf{x}]_i`: ベクトル :math:`\mathbf{x}` の
   :math:`i^\textrm{th}` 要素
-  :math:`x_{ij}`, :math:`x_{i,j}`,\ :math:`[\mathbf{X}]_{ij}`,
   :math:`[\mathbf{X}]_{i,j}`: 行列 :math:`\mathbf{X}` の第 :math:`i`
   行第 :math:`j` 列の要素

集合論
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-  :math:`\mathcal{X}`: 集合
-  :math:`\mathbb{Z}`: 整数全体の集合
-  :math:`\mathbb{Z}^+`: 正の整数全体の集合
-  :math:`\mathbb{R}`: 実数全体の集合
-  :math:`\mathbb{R}^n`: 実数からなる :math:`n` 次元ベクトル全体の集合
-  :math:`\mathbb{R}^{a\times b}`: :math:`a` 行 :math:`b`
   列の実数行列全体の集合
-  :math:`|\mathcal{X}|`: 集合 :math:`\mathcal{X}` の濃度（要素数）
-  :math:`\mathcal{A}\cup\mathcal{B}`: 集合 :math:`\mathcal{A}` と
   :math:`\mathcal{B}` の和集合
-  :math:`\mathcal{A}\cap\mathcal{B}`: 集合 :math:`\mathcal{A}` と
   :math:`\mathcal{B}` の共通部分
-  :math:`\mathcal{A}\setminus\mathcal{B}`: :math:`\mathcal{A}` から
   :math:`\mathcal{B}` を引いた差集合（\ :math:`\mathcal{A}` のうち
   :math:`\mathcal{B}` に属さない要素のみを含む）

関数と演算子
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-  :math:`f(\cdot)`: 関数
-  :math:`\log(\cdot)`: 自然対数（底 :math:`e`\ ）
-  :math:`\log_2(\cdot)`: 底 :math:`2` の対数
-  :math:`\exp(\cdot)`: 指数関数
-  :math:`\mathbf{1}(\cdot)`: 指示関数。ブール値の引数が真なら
   :math:`1`\ 、それ以外なら :math:`0` を返す
-  :math:`\mathbf{1}_{\mathcal{X}}(z)`: 集合所属指示関数。要素 :math:`z`
   が集合 :math:`\mathcal{X}` に属すれば :math:`1`\ 、それ以外なら
   :math:`0` を返す
-  :math:`\mathbf{(\cdot)}^\top`: ベクトルまたは行列の転置
-  :math:`\mathbf{X}^{-1}`: 行列 :math:`\mathbf{X}` の逆行列
-  :math:`\odot`: ハダマード積（要素ごとの積）
-  :math:`[\cdot, \cdot]`: 連結
-  :math:`\|\cdot\|_p`: :math:`\ell_p` ノルム
-  :math:`\|\cdot\|`: :math:`\ell_2` ノルム
-  :math:`\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle`: ベクトル
   :math:`\mathbf{x}` と :math:`\mathbf{y}` の内積（ドット積）
-  :math:`\sum`: 要素の集合に対する総和
-  :math:`\prod`: 要素の集合に対する総乗
-  :math:`\stackrel{\textrm{def}}{=}`:
   左辺の記号の定義として主張される等式

微積分
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-  :math:`\frac{dy}{dx}`: :math:`x` に関する :math:`y` の導関数
-  :math:`\frac{\partial y}{\partial x}`: :math:`x` に関する :math:`y`
   の偏導関数
-  :math:`\nabla_{\mathbf{x}} y`: :math:`\mathbf{x}` に関する :math:`y`
   の勾配
-  :math:`\int_a^b f(x) \;dx`: :math:`x` に関して :math:`a` から
   :math:`b` までの :math:`f` の定積分
-  :math:`\int f(x) \;dx`: :math:`x` に関する :math:`f` の不定積分

確率と情報理論
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-  :math:`X`: 確率変数
-  :math:`P`: 確率分布
-  :math:`X \sim P`: 確率変数 :math:`X` は分布 :math:`P` に従う
-  :math:`P(X=x)`: 確率変数 :math:`X` が値 :math:`x`
   をとる事象に割り当てられる確率
-  :math:`P(X \mid Y)`: :math:`Y` が与えられたときの :math:`X`
   の条件付き確率分布
-  :math:`p(\cdot)`: 分布 :math:`P` に対応する確率密度関数（PDF）
-  :math:`{E}[X]`: 確率変数 :math:`X` の期待値
-  :math:`X \perp Y`: 確率変数 :math:`X` と :math:`Y` は独立
-  :math:`X \perp Y \mid Z`: 確率変数 :math:`X` と :math:`Y`
   は、\ :math:`Z` が与えられたとき条件付き独立
-  :math:`\sigma_X`: 確率変数 :math:`X` の標準偏差
-  :math:`\textrm{Var}(X)`: 確率変数 :math:`X`
   の分散。\ :math:`\sigma^2_X` に等しい
-  :math:`\textrm{Cov}(X, Y)`: 確率変数 :math:`X` と :math:`Y` の共分散
-  :math:`\rho(X, Y)`: :math:`X` と :math:`Y`
   のピアソン相関係数。\ :math:`\frac{\textrm{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}`
   に等しい
-  :math:`H(X)`: 確率変数 :math:`X` のエントロピー
-  :math:`D_{\textrm{KL}}(P\|Q)`: 分布 :math:`Q` から分布 :math:`P` への
   KL ダイバージェンス（または相対エントロピー）