.. _sec_rmsprop:
RMSProp
=======
:numref:`sec_adagrad` における重要な問題の1つは、学習率が事実上
:math:`\mathcal{O}(t^{-\frac{1}{2}})`
のあらかじめ定められたスケジュールで減少していくことである。これは一般に凸問題には適しているが、深層学習で遭遇するような非凸問題には必ずしも理想的ではない。それでも、Adagrad
の座標ごとの適応性は、前処理器として非常に望ましいものである。
:cite:t:`Tieleman.Hinton.2012`
は、スケジュールによる学習率の調整と座標適応的な学習率を切り離すための簡単な修正として、RMSProp
アルゴリズムを提案した。問題は、Adagrad が勾配 :math:`\mathbf{g}_t`
の二乗を状態ベクトル
:math:`\mathbf{s}_t = \mathbf{s}_{t-1} + \mathbf{g}_t^2`
に蓄積していくことである。その結果、正規化がないため
:math:`\mathbf{s}_t`
は際限なく増大し続け、アルゴリズムが収束するにつれて本質的には線形に増えていく。
この問題を修正する1つの方法は、\ :math:`\mathbf{s}_t / t`
を使うことである。\ :math:`\mathbf{g}_t`
の分布が適切であれば、これは収束する。残念ながら、この手続きは値の完全な軌跡を記憶するため、極限的な挙動が重要になるまでに非常に長い時間がかかるかもしれない。別の方法として、モメンタム法で用いたのと同じようにリーキー平均を使うことができる。すなわち、あるパラメータ
:math:`\gamma > 0` に対して
:math:`\mathbf{s}_t \leftarrow \gamma \mathbf{s}_{t-1} + (1-\gamma) \mathbf{g}_t^2`
とする。他の部分をすべて変えずに残すと RMSProp になる。
アルゴリズム
------------
式を詳しく書き下してみよう。
.. math::
\begin{aligned}
\mathbf{s}_t & \leftarrow \gamma \mathbf{s}_{t-1} + (1 - \gamma) \mathbf{g}_t^2, \\
\mathbf{x}_t & \leftarrow \mathbf{x}_{t-1} - \frac{\eta}{\sqrt{\mathbf{s}_t + \epsilon}} \odot \mathbf{g}_t.
\end{aligned}
定数 :math:`\epsilon > 0` は通常 :math:`10^{-6}`
に設定され、ゼロ除算や過度に大きなステップサイズを避けるために用いられる。この展開により、学習率
:math:`\eta`
を、各座標ごとに適用されるスケーリングとは独立に制御できるようになる。リーキー平均の観点では、これまでモメンタム法で行ったのと同じ推論を適用できる。\ :math:`\mathbf{s}_t`
の定義を展開すると
.. math::
\begin{aligned}
\mathbf{s}_t & = (1 - \gamma) \mathbf{g}_t^2 + \gamma \mathbf{s}_{t-1} \\
& = (1 - \gamma) \left(\mathbf{g}_t^2 + \gamma \mathbf{g}_{t-1}^2 + \gamma^2 \mathbf{g}_{t-2} + \ldots, \right).
\end{aligned}
:numref:`sec_momentum`
と同様に、\ :math:`1 + \gamma + \gamma^2 + \ldots, = \frac{1}{1-\gamma}`
を用いる。したがって、重みの総和は :math:`1`
に正規化され、観測の半減期は :math:`\gamma^{-1}` になる。さまざまな
:math:`\gamma` の選択について、過去40ステップの重みを可視化してみよう。
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
from d2l import torch as d2l
import torch
import math
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
%matplotlib inline
from d2l import mxnet as d2l
import math
from mxnet import np, npx
npx.set_np()
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
d2l.set_figsize()
gammas = [0.95, 0.9, 0.8, 0.7]
for gamma in gammas:
x = d2l.numpy(d2l.arange(40))
d2l.plt.plot(x, (1-gamma) * gamma ** x, label=f'gamma = {gamma:.2f}')
d2l.plt.xlabel('time');
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
from d2l import tensorflow as d2l
import tensorflow as tf
import math
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
d2l.set_figsize()
gammas = [0.95, 0.9, 0.8, 0.7]
for gamma in gammas:
x = d2l.numpy(d2l.arange(40))
d2l.plt.plot(x, (1-gamma) * gamma ** x, label=f'gamma = {gamma:.2f}')
d2l.plt.xlabel('time');
.. figure:: output_rmsprop_88e24e_17_0.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
d2l.set_figsize()
gammas = [0.95, 0.9, 0.8, 0.7]
for gamma in gammas:
x = d2l.numpy(d2l.arange(40))
d2l.plt.plot(x, (1-gamma) * gamma ** x, label=f'gamma = {gamma:.2f}')
d2l.plt.xlabel('time');
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
[06:58:30] ../src/storage/storage.cc:196: Using Pooled (Naive) StorageManager for CPU
.. figure:: output_rmsprop_88e24e_20_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def rmsprop_2d(x1, x2, s1, s2):
g1, g2, eps = 0.2 * x1, 4 * x2, 1e-6
s1 = gamma * s1 + (1 - gamma) * g1 ** 2
s2 = gamma * s2 + (1 - gamma) * g2 ** 2
x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1
x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2
return x1, x2, s1, s2
def f_2d(x1, x2):
return 0.1 * x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2
eta, gamma = 0.4, 0.9
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(rmsprop_2d))
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
d2l.set_figsize()
gammas = [0.95, 0.9, 0.8, 0.7]
for gamma in gammas:
x = d2l.numpy(d2l.arange(40))
d2l.plt.plot(x, (1-gamma) * gamma ** x, label=f'gamma = {gamma:.2f}')
d2l.plt.xlabel('time');
.. figure:: output_rmsprop_88e24e_26_0.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def rmsprop_2d(x1, x2, s1, s2):
g1, g2, eps = 0.2 * x1, 4 * x2, 1e-6
s1 = gamma * s1 + (1 - gamma) * g1 ** 2
s2 = gamma * s2 + (1 - gamma) * g2 ** 2
x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1
x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2
return x1, x2, s1, s2
def f_2d(x1, x2):
return 0.1 * x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2
eta, gamma = 0.4, 0.9
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(rmsprop_2d))
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
epoch 20, x1: -0.010599, x2: 0.000000
.. figure:: output_rmsprop_88e24e_32_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def rmsprop_2d(x1, x2, s1, s2):
g1, g2, eps = 0.2 * x1, 4 * x2, 1e-6
s1 = gamma * s1 + (1 - gamma) * g1 ** 2
s2 = gamma * s2 + (1 - gamma) * g2 ** 2
x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1
x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2
return x1, x2, s1, s2
def f_2d(x1, x2):
return 0.1 * x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2
eta, gamma = 0.4, 0.9
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(rmsprop_2d))
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
epoch 20, x1: -0.010599, x2: 0.000000
.. figure:: output_rmsprop_88e24e_35_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(rmsprop, init_rmsprop_states(feature_dim),
{'lr': 0.01, 'gamma': 0.9}, data_iter, feature_dim);
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def rmsprop_2d(x1, x2, s1, s2):
g1, g2, eps = 0.2 * x1, 4 * x2, 1e-6
s1 = gamma * s1 + (1 - gamma) * g1 ** 2
s2 = gamma * s2 + (1 - gamma) * g2 ** 2
x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1
x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2
return x1, x2, s1, s2
def f_2d(x1, x2):
return 0.1 * x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2
eta, gamma = 0.4, 0.9
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(rmsprop_2d))
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
epoch 20, x1: -0.010599, x2: 0.000000
.. figure:: output_rmsprop_88e24e_41_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def init_rmsprop_states(feature_dim):
s_w = d2l.zeros((feature_dim, 1))
s_b = d2l.zeros(1)
return (s_w, s_b)
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def init_rmsprop_states(feature_dim):
s_w = d2l.zeros((feature_dim, 1))
s_b = d2l.zeros(1)
return (s_w, s_b)
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def init_rmsprop_states(feature_dim):
s_w = tf.Variable(d2l.zeros((feature_dim, 1)))
s_b = tf.Variable(d2l.zeros(1))
return (s_w, s_b)
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def rmsprop(params, states, hyperparams):
gamma, eps = hyperparams['gamma'], 1e-6
for p, s in zip(params, states):
with torch.no_grad():
s[:] = gamma * s + (1 - gamma) * torch.square(p.grad)
p[:] -= hyperparams['lr'] * p.grad / torch.sqrt(s + eps)
p.grad.data.zero_()
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def rmsprop(params, states, hyperparams):
gamma, eps = hyperparams['gamma'], 1e-6
for p, s in zip(params, states):
s[:] = gamma * s + (1 - gamma) * np.square(p.grad)
p[:] -= hyperparams['lr'] * p.grad / np.sqrt(s + eps)
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def rmsprop(params, grads, states, hyperparams):
gamma, eps = hyperparams['gamma'], 1e-6
for p, s, g in zip(params, states, grads):
s[:].assign(gamma * s + (1 - gamma) * tf.math.square(g))
p[:].assign(p - hyperparams['lr'] * g / tf.math.sqrt(s + eps))
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
trainer = torch.optim.RMSprop
d2l.train_concise_ch11(trainer, {'lr': 0.01, 'alpha': 0.9},
data_iter)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
loss: 0.243, 0.133 sec/epoch
.. figure:: output_rmsprop_88e24e_72_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
d2l.train_concise_ch11('rmsprop', {'learning_rate': 0.01, 'gamma1': 0.9},
data_iter)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
loss: 0.246, 0.355 sec/epoch
.. figure:: output_rmsprop_88e24e_75_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
trainer = tf.keras.optimizers.RMSprop
d2l.train_concise_ch11(trainer, {'learning_rate': 0.01, 'rho': 0.9},
data_iter)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
loss: 0.249, 1.316 sec/epoch
.. figure:: output_rmsprop_88e24e_78_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html