12.11. 学習率スケジューリング

これまで主に、重みベクトルをどのように更新するかという最適化のアルゴリズムに注目してきたが、更新される速度についてはあまり扱ってこなかった。とはいえ、学習率の調整は実際のアルゴリズムと同じくらい重要であることがよくある。考慮すべき点はいくつかある。

• まず明らかなのは、学習率の大きさが重要だということである。大きすぎれば最適化は発散し、小さすぎれば学習に時間がかかりすぎるか、あるいは準最適な結果に終わってしまう。以前、問題の条件数が重要であることを見た（詳細は例えば 12.6 章 を参照）。直感的には、最も感度の低い方向における変化量と、最も感度の高い方向における変化量の比である。

• 第二に、減衰の速さも同様に重要である。学習率が大きいままだと、単に最小値の周りを行ったり来たりするだけで、最適性に到達できないかもしれない。 12.5 章 でこれを詳しく議論し、 12.4 章 では性能保証を解析した。要するに、学習率は減衰してほしいのだが、凸問題に対しては良い選択となる \(\mathcal{O}(t^{-\frac{1}{2}})\) よりはおそらくゆっくり減衰するほうがよいだろう。

• もう一つ同じくらい重要なのが初期化である。これは、パラメータを最初にどう設定するか（詳細は 5.4 章 を参照）だけでなく、初期段階でそれらがどう変化するかにも関係する。これはウォームアップという名目で扱われ、つまり最初に解へ向かってどれだけ速く動き始めるかということである。特に、初期のパラメータ設定はランダムなので、最初の大きなステップは有益でないかもしれない。初期の更新方向も、かなり無意味である可能性がある。

• 最後に、周期的に学習率を調整する最適化の変種もいくつかある。これは本章の範囲を超える。読者には Izmailov et al. (2018) の詳細、たとえばパラメータの全経路にわたって平均を取ることでより良い解を得る方法などを参照することを勧める。

学習率の管理には多くの詳細が必要であるため、ほとんどの深層学習フレームワークにはこれを自動的に扱うためのツールがある。本章では、異なるスケジュールが精度に与える影響を確認し、さらにこれを学習率スケジューラによって効率的に管理する方法を示す。

12.11.1. おもちゃ問題

まず、計算コストが低く簡単に扱える一方で、いくつかの重要な点を示すのに十分に非自明なおもちゃ問題から始める。そのために、Fashion-MNIST に適用した LeNet の少し現代的な版（活性化関数は sigmoid ではなく relu、AveragePooling ではなく MaxPooling）を用いる。さらに、性能向上のためにネットワークをハイブリダイズする。コードの大部分は標準的なので、ここでは基本だけを紹介し、詳細な議論はしない。必要に応じて 7 章 を復習されたい。

pytorchmxnetjaxtensorflow

%matplotlib inline
from d2l import torch as d2l
import math
import torch
from torch import nn
from torch.optim import lr_scheduler

def net_fn():
    model = nn.Sequential(
        nn.Conv2d(1, 6, kernel_size=5, padding=2), nn.ReLU(),
        nn.MaxPool2d(kernel_size=2, stride=2),
        nn.Conv2d(6, 16, kernel_size=5), nn.ReLU(),
        nn.MaxPool2d(kernel_size=2, stride=2),
        nn.Flatten(),
        nn.Linear(16 * 5 * 5, 120), nn.ReLU(),
        nn.Linear(120, 84), nn.ReLU(),
        nn.Linear(84, 10))

    return model

loss = nn.CrossEntropyLoss()
device = d2l.try_gpu()

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size=batch_size)

# The code is almost identical to `d2l.train_ch6` defined in the
# lenet section of chapter convolutional neural networks
def train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device,
          scheduler=None):
    net.to(device)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', xlim=[0, num_epochs],
                            legend=['train loss', 'train acc', 'test acc'])

    for epoch in range(num_epochs):
        metric = d2l.Accumulator(3)  # train_loss, train_acc, num_examples
        for i, (X, y) in enumerate(train_iter):
            net.train()
            trainer.zero_grad()
            X, y = X.to(device), y.to(device)
            y_hat = net(X)
            l = loss(y_hat, y)
            l.backward()
            trainer.step()
            with torch.no_grad():
                metric.add(l * X.shape[0], d2l.accuracy(y_hat, y), X.shape[0])
            train_loss = metric[0] / metric[2]
            train_acc = metric[1] / metric[2]
            if (i + 1) % 50 == 0:
                animator.add(epoch + i / len(train_iter),
                             (train_loss, train_acc, None))

        test_acc = d2l.evaluate_accuracy_gpu(net, test_iter)
        animator.add(epoch+1, (None, None, test_acc))

        if scheduler:
            if scheduler.__module__ == lr_scheduler.__name__:
                # Using PyTorch In-Built scheduler
                scheduler.step()
            else:
                # Using custom defined scheduler
                for param_group in trainer.param_groups:
                    param_group['lr'] = scheduler(epoch)

    print(f'train loss {train_loss:.3f}, train acc {train_acc:.3f}, '
          f'test acc {test_acc:.3f}')

%matplotlib inline
from d2l import mxnet as d2l
from mxnet import autograd, gluon, init, lr_scheduler, np, npx
from mxnet.gluon import nn
npx.set_np()

net = nn.HybridSequential()
net.add(nn.Conv2D(channels=6, kernel_size=5, padding=2, activation='relu'),
        nn.MaxPool2D(pool_size=2, strides=2),
        nn.Conv2D(channels=16, kernel_size=5, activation='relu'),
        nn.MaxPool2D(pool_size=2, strides=2),
        nn.Dense(120, activation='relu'),
        nn.Dense(84, activation='relu'),
        nn.Dense(10))
net.hybridize()
loss = gluon.loss.SoftmaxCrossEntropyLoss()
device = d2l.try_gpu()

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size=batch_size)

# The code is almost identical to `d2l.train_ch6` defined in the
# lenet section of chapter convolutional neural networks
def train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device):
    net.initialize(force_reinit=True, ctx=device, init=init.Xavier())
    animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', xlim=[0, num_epochs],
                            legend=['train loss', 'train acc', 'test acc'])
    for epoch in range(num_epochs):
        metric = d2l.Accumulator(3)  # train_loss, train_acc, num_examples
        for i, (X, y) in enumerate(train_iter):
            X, y = X.as_in_ctx(device), y.as_in_ctx(device)
            with autograd.record():
                y_hat = net(X)
                l = loss(y_hat, y)
            l.backward()
            trainer.step(X.shape[0])
            metric.add(l.sum(), d2l.accuracy(y_hat, y), X.shape[0])
            train_loss = metric[0] / metric[2]
            train_acc = metric[1] / metric[2]
            if (i + 1) % 50 == 0:
                animator.add(epoch + i / len(train_iter),
                             (train_loss, train_acc, None))
        test_acc = d2l.evaluate_accuracy_gpu(net, test_iter)
        animator.add(epoch + 1, (None, None, test_acc))
    print(f'train loss {train_loss:.3f}, train acc {train_acc:.3f}, '
          f'test acc {test_acc:.3f}')

[07:52:47] ../src/storage/storage.cc:196: Using Pooled (Naive) StorageManager for CPU

class SquareRootScheduler:
    def __init__(self, lr=0.1):
        self.lr = lr

    def __call__(self, num_update):
        return self.lr * pow(num_update + 1.0, -0.5)

%matplotlib inline
from d2l import tensorflow as d2l
import tensorflow as tf
import math
from tensorflow.keras.callbacks import LearningRateScheduler

def net():
    return tf.keras.models.Sequential([
        tf.keras.layers.Conv2D(filters=6, kernel_size=5, activation='relu',
                               padding='same'),
        tf.keras.layers.AvgPool2D(pool_size=2, strides=2),
        tf.keras.layers.Conv2D(filters=16, kernel_size=5,
                               activation='relu'),
        tf.keras.layers.AvgPool2D(pool_size=2, strides=2),
        tf.keras.layers.Flatten(),
        tf.keras.layers.Dense(120, activation='relu'),
        tf.keras.layers.Dense(84, activation='sigmoid'),
        tf.keras.layers.Dense(10)])


batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size=batch_size)

# The code is almost identical to `d2l.train_ch6` defined in the
# lenet section of chapter convolutional neural networks
def train(net_fn, train_iter, test_iter, num_epochs, lr,
              device=d2l.try_gpu(), custom_callback = False):
    device_name = device._device_name
    strategy = tf.distribute.OneDeviceStrategy(device_name)
    with strategy.scope():
        optimizer = tf.keras.optimizers.SGD(learning_rate=lr)
        loss = tf.keras.losses.SparseCategoricalCrossentropy(from_logits=True)
        net = net_fn()
        net.compile(optimizer=optimizer, loss=loss, metrics=['accuracy'])
    callback = d2l.TrainCallback(net, train_iter, test_iter, num_epochs,
                             device_name)
    if custom_callback is False:
        net.fit(train_iter, epochs=num_epochs, verbose=0,
                callbacks=[callback])
    else:
         net.fit(train_iter, epochs=num_epochs, verbose=0,
                 callbacks=[callback, custom_callback])
    return net

このアルゴリズムを、学習率 \(0.3\) で \(30\) イテレーション学習するというデフォルト設定で実行するとどうなるか見てみよう。訓練精度は上がり続ける一方で、テスト精度の向上はある点を超えると止まっていることに注意されたい。両方の曲線の間のギャップは過学習を示している。

pytorchmxnetjaxtensorflow

lr, num_epochs = 0.3, 30
net = net_fn()
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=lr)
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device)

train loss 0.145, train acc 0.943, test acc 0.873

lr, num_epochs = 0.3, 30
net.initialize(force_reinit=True, ctx=device, init=init.Xavier())
trainer = gluon.Trainer(net.collect_params(), 'sgd', {'learning_rate': lr})
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device)

train loss 2.303, train acc 0.099, test acc 0.100

scheduler = SquareRootScheduler(lr=0.1)
d2l.plot(d2l.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])

lr, num_epochs = 0.3, 30
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr)

loss 0.216, train acc 0.919, test acc 0.891
51230.9 examples/sec on /GPU:0

<keras.engine.sequential.Sequential at 0x7ff7b0148130>

12.11.2. スケジューラ

学習率を調整する一つの方法は、各ステップで明示的に設定することである。これは set_learning_rate メソッドで簡単に実現できる。たとえば、最適化の進み具合に応じて動的に、各エポック後（あるいは各ミニバッチ後）に学習率を下げることができる。

pytorchmxnetjaxtensorflow

lr = 0.1
trainer.param_groups[0]["lr"] = lr
print(f'learning rate is now {trainer.param_groups[0]["lr"]:.2f}')

learning rate is now 0.10

trainer.set_learning_rate(0.1)
print(f'learning rate is now {trainer.learning_rate:.2f}')

learning rate is now 0.10

class FactorScheduler:
    def __init__(self, factor=1, stop_factor_lr=1e-7, base_lr=0.1):
        self.factor = factor
        self.stop_factor_lr = stop_factor_lr
        self.base_lr = base_lr

    def __call__(self, num_update):
        self.base_lr = max(self.stop_factor_lr, self.base_lr * self.factor)
        return self.base_lr

scheduler = FactorScheduler(factor=0.9, stop_factor_lr=1e-2, base_lr=2.0)
d2l.plot(d2l.arange(50), [scheduler(t) for t in range(50)])

lr = 0.1
dummy_model = tf.keras.models.Sequential([tf.keras.layers.Dense(10)])
dummy_model.compile(tf.keras.optimizers.SGD(learning_rate=lr), loss='mse')
print(f'learning rate is now ,', dummy_model.optimizer.lr.numpy())

learning rate is now , 0.1

より一般的には、スケジューラを定義したいところである。更新回数を与えて呼び出すと、適切な学習率の値を返す。単純な例として、学習率を \(\eta = \eta_0 (t + 1)^{-\frac{1}{2}}\) に設定するものを定義しよう。

class SquareRootScheduler:
    def __init__(self, lr=0.1):
        self.lr = lr

    def __call__(self, num_update):
        return self.lr * pow(num_update + 1.0, -0.5)

その振る舞いをいくつかの値にわたって描画してみよう。

scheduler = SquareRootScheduler(lr=0.1)
d2l.plot(d2l.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])

では、Fashion-MNIST で学習したときにこれがどう働くかを見てみよう。学習アルゴリズムに追加引数としてスケジューラを与えるだけである。

pytorchmxnettensorflow

net = net_fn()
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr)
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device,
      scheduler)

train loss 0.279, train acc 0.899, test acc 0.884

trainer = gluon.Trainer(net.collect_params(), 'sgd',
                        {'lr_scheduler': scheduler})
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device)

train loss 0.522, train acc 0.812, test acc 0.811

train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr,
      custom_callback=LearningRateScheduler(scheduler))

loss 0.369, train acc 0.865, test acc 0.850
49886.9 examples/sec on /GPU:0

<keras.engine.sequential.Sequential at 0x7ff750362c20>

これは以前よりかなりうまくいった。注目すべき点が二つある。まず、曲線が以前よりかなり滑らかになった。第二に、過学習が少なくなった。残念ながら、なぜ特定の戦略が理論上過学習を減らすのかは、まだ十分に解明されていない。ステップサイズが小さいほど、ゼロに近いパラメータに到達しやすくなり、その結果としてより単純になる、という議論はある。しかし、実際には早期停止しているわけではなく、単に学習率を穏やかに下げているだけなので、この現象を完全には説明できない。

12.11.3. ポリシー

学習率スケジューラのあらゆる種類を網羅することはできないが、以下ではよく使われるポリシーを簡単に概観する。一般的な選択肢としては、多項式減衰と区分定数スケジュールがある。それに加えて、コサイン学習率スケジュールは、いくつかの問題で経験的によく機能することが分かっている。最後に、問題によっては、大きな学習率を使う前に最適化器をウォームアップすることが有益である。

12.11.3.1. Factor Scheduler

多項式減衰の代わりに、乗法的な減衰、すなわち \(\alpha \in (0, 1)\) に対して \(\eta_{t+1} \leftarrow \eta_t \cdot \alpha\) を用いる方法がある。学習率が妥当な下限を超えて減衰しないようにするため、更新式はしばしば \(\eta_{t+1} \leftarrow \mathop{\mathrm{max}}(\eta_{\mathrm{min}}, \eta_t \cdot \alpha)\) に修正される。

class FactorScheduler:
    def __init__(self, factor=1, stop_factor_lr=1e-7, base_lr=0.1):
        self.factor = factor
        self.stop_factor_lr = stop_factor_lr
        self.base_lr = base_lr

    def __call__(self, num_update):
        self.base_lr = max(self.stop_factor_lr, self.base_lr * self.factor)
        return self.base_lr

scheduler = FactorScheduler(factor=0.9, stop_factor_lr=1e-2, base_lr=2.0)
d2l.plot(d2l.arange(50), [scheduler(t) for t in range(50)])

これは MXNet では lr_scheduler.FactorScheduler オブジェクトという組み込みスケジューラでも実現できる。これには、ウォームアップ期間、ウォームアップのモード（線形または定数）、望ましい更新回数の上限など、いくつか追加のパラメータがある。今後は、適宜組み込みスケジューラを使い、その機能についてここで説明することにする。図に示したように、必要なら自分でスケジューラを作るのはかなり簡単である。

12.11.3.2. Multi Factor Scheduler

深層ネットワークの学習でよくある戦略は、学習率を区分的に一定に保ち、一定間隔で所定の量だけ下げることである。つまり、たとえば \(s = \{5, 10, 20\}\) のように学習率を下げる時刻の集合が与えられたとき、\(t \in s\) ならば \(\eta_{t+1} \leftarrow \eta_t \cdot \alpha\) とする。各段階で半分にする場合は、次のように実装できる。

pytorchmxnettensorflow

net = net_fn()
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.5)
scheduler = lr_scheduler.MultiStepLR(trainer, milestones=[15, 30], gamma=0.5)

def get_lr(trainer, scheduler):
    lr = scheduler.get_last_lr()[0]
    trainer.step()
    scheduler.step()
    return lr

d2l.plot(d2l.arange(num_epochs), [get_lr(trainer, scheduler)
                                  for t in range(num_epochs)])

scheduler = lr_scheduler.MultiFactorScheduler(step=[15, 30], factor=0.5,
                                              base_lr=0.5)
d2l.plot(d2l.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])

class MultiFactorScheduler:
    def __init__(self, step, factor, base_lr):
        self.step = step
        self.factor = factor
        self.base_lr = base_lr

    def __call__(self, epoch):
        if epoch in self.step:
            self.base_lr = self.base_lr * self.factor
            return self.base_lr
        else:
            return self.base_lr

scheduler = MultiFactorScheduler(step=[15, 30], factor=0.5, base_lr=0.5)
d2l.plot(d2l.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])

この区分定数の学習率スケジュールの背後にある直感は、重みベクトルの分布の観点で定常点に達するまで最適化を進め、その後でのみ学習率を下げることで、良い局所最小値のより高品質な近似を得るというものである。以下の例では、これがわずかにより良い解を生み出す様子を示している。

pytorchmxnettensorflow

train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device,
      scheduler)

train loss 0.186, train acc 0.929, test acc 0.887

trainer = gluon.Trainer(net.collect_params(), 'sgd',
                        {'lr_scheduler': scheduler})
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device)

train loss 0.213, train acc 0.920, test acc 0.896

train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr,
      custom_callback=LearningRateScheduler(scheduler))

loss 0.224, train acc 0.917, test acc 0.887
50810.6 examples/sec on /GPU:0

<keras.engine.sequential.Sequential at 0x7ff750335bd0>

12.11.3.3. Cosine Scheduler

Loshchilov and Hutter (2016) によって、やや意外なヒューリスティックが提案された。これは、最初に学習率をあまり急激に下げたくないこと、さらに最後には非常に小さな学習率を使って解を「洗練」したいこと、という観察に基づいている。その結果、\(t \in [0, T]\) の範囲で学習率が次のようなコサイン状のスケジュールになる。

(12.11.1)\[\eta_t = \eta_T + \frac{\eta_0 - \eta_T}{2} \left(1 + \cos(\pi t/T)\right)\]

ここで \(\eta_0\) は初期学習率、\(\eta_T\) は時刻 \(T\) における目標学習率である。さらに、\(t > T\) では値を再び増やさず、単に \(\eta_T\) に固定する。以下の例では、最大更新ステップを \(T = 20\) に設定する。

pytorchmxnettensorflow

class CosineScheduler:
    def __init__(self, max_update, base_lr=0.01, final_lr=0,
               warmup_steps=0, warmup_begin_lr=0):
        self.base_lr_orig = base_lr
        self.max_update = max_update
        self.final_lr = final_lr
        self.warmup_steps = warmup_steps
        self.warmup_begin_lr = warmup_begin_lr
        self.max_steps = self.max_update - self.warmup_steps

    def get_warmup_lr(self, epoch):
        increase = (self.base_lr_orig - self.warmup_begin_lr) \
                       * float(epoch) / float(self.warmup_steps)
        return self.warmup_begin_lr + increase

    def __call__(self, epoch):
        if epoch < self.warmup_steps:
            return self.get_warmup_lr(epoch)
        if epoch <= self.max_update:
            self.base_lr = self.final_lr + (
                self.base_lr_orig - self.final_lr) * (1 + math.cos(
                math.pi * (epoch - self.warmup_steps) / self.max_steps)) / 2
        return self.base_lr

scheduler = CosineScheduler(max_update=20, base_lr=0.3, final_lr=0.01)
d2l.plot(d2l.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])

scheduler = lr_scheduler.CosineScheduler(max_update=20, base_lr=0.3,
                                         final_lr=0.01)
d2l.plot(d2l.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])

class CosineScheduler:
    def __init__(self, max_update, base_lr=0.01, final_lr=0,
               warmup_steps=0, warmup_begin_lr=0):
        self.base_lr_orig = base_lr
        self.max_update = max_update
        self.final_lr = final_lr
        self.warmup_steps = warmup_steps
        self.warmup_begin_lr = warmup_begin_lr
        self.max_steps = self.max_update - self.warmup_steps

    def get_warmup_lr(self, epoch):
        increase = (self.base_lr_orig - self.warmup_begin_lr) \
                       * float(epoch) / float(self.warmup_steps)
        return self.warmup_begin_lr + increase

    def __call__(self, epoch):
        if epoch < self.warmup_steps:
            return self.get_warmup_lr(epoch)
        if epoch <= self.max_update:
            self.base_lr = self.final_lr + (
                self.base_lr_orig - self.final_lr) * (1 + math.cos(
                math.pi * (epoch - self.warmup_steps) / self.max_steps)) / 2
        return self.base_lr

scheduler = CosineScheduler(max_update=20, base_lr=0.3, final_lr=0.01)
d2l.plot(d2l.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])

コンピュータビジョンの文脈では、このスケジュールは結果を改善することがある。ただし、そのような改善が保証されるわけではない（下に示すとおりである）。

pytorchmxnettensorflow

net = net_fn()
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.3)
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device,
      scheduler)

train loss 0.187, train acc 0.931, test acc 0.902

trainer = gluon.Trainer(net.collect_params(), 'sgd',
                        {'lr_scheduler': scheduler})
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device)

train loss 0.345, train acc 0.877, test acc 0.868

train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr,
      custom_callback=LearningRateScheduler(scheduler))

loss 0.261, train acc 0.905, test acc 0.882
50105.5 examples/sec on /GPU:0

<keras.engine.sequential.Sequential at 0x7ff768221210>

12.11.3.4. ウォームアップ

場合によっては、パラメータの初期化だけでは良い解を保証するのに十分ではない。これは特に、最適化が不安定になりうる高度なネットワーク設計で問題になる。これに対処するには、最初のうち発散を防ぐために十分小さい学習率を選ぶ方法がある。残念ながら、これは進みが遅いことを意味する。逆に、最初から大きな学習率を使うと発散する。

このジレンマに対するかなり単純な解決策は、学習率が初期の最大値まで増加するウォームアップ期間を設け、その後は最適化過程の終わりまで学習率を下げていくことである。簡単のため、通常はこの目的に線形増加を用いる。これにより、以下に示すようなスケジュールになる。

pytorchmxnettensorflow

scheduler = CosineScheduler(20, warmup_steps=5, base_lr=0.3, final_lr=0.01)
d2l.plot(d2l.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])

scheduler = lr_scheduler.CosineScheduler(20, warmup_steps=5, base_lr=0.3,
                                         final_lr=0.01)
d2l.plot(np.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])

scheduler = CosineScheduler(20, warmup_steps=5, base_lr=0.3, final_lr=0.01)
d2l.plot(d2l.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])

ネットワークが初期段階でよりよく収束することに注意されたい（特に最初の 5 エポックでの性能を観察されたい）。

pytorchmxnettensorflow

net = net_fn()
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.3)
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device,
      scheduler)

train loss 0.181, train acc 0.933, test acc 0.901

trainer = gluon.Trainer(net.collect_params(), 'sgd',
                        {'lr_scheduler': scheduler})
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device)

train loss 0.352, train acc 0.873, test acc 0.865

train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr,
      custom_callback=LearningRateScheduler(scheduler))

loss 0.269, train acc 0.903, test acc 0.881
51441.5 examples/sec on /GPU:0

<keras.engine.sequential.Sequential at 0x7ff7c3509600>

ウォームアップは任意のスケジューラに適用できる（コサインに限らない）。学習率スケジュールについてのより詳細な議論や、さらに多くの実験については (Gotmare et al., 2018) も参照されたい。特に、ウォームアップ段階は非常に深いネットワークにおけるパラメータの発散量を抑えることが分かっている。これは直感的にも理解できる。というのも、学習の初期に進展しにくいネットワーク部分では、ランダム初期化によって大きな発散が生じると予想されるからである。

12.11.4. まとめ

• 学習中に学習率を下げると、精度の向上や、（最も不可解なことに）モデルの過学習の減少につながることがある。

• 進展が頭打ちになったときに学習率を段階的に下げる方法は、実際に有効である。本質的には、これにより適切な解へ効率よく収束し、その後でのみ学習率を下げることでパラメータの本質的な分散を減らす。

• コサインスケジューラは、いくつかのコンピュータビジョン問題で人気がある。このようなスケジューラの詳細は、例えば GluonCV を参照されたい。

• 最適化の前にウォームアップ期間を設けると、発散を防げる。

• 最適化は深層学習において複数の目的を果たす。訓練目的関数の最小化だけでなく、最適化アルゴリズムや学習率スケジューリングの選択によって、（同じ訓練誤差でも）テストセット上での汎化や過学習の程度がかなり異なることがある。

12.11.5. 演習

1. 固定した学習率に対する最適化の挙動を実験せよ。この方法で得られる最良のモデルは何か。

2. 学習率の減衰指数を変えると収束はどう変わるか。実験では PolyScheduler を使うと便利である。

3. コサインスケジューラを大規模なコンピュータビジョン問題、たとえば ImageNet の学習に適用せよ。他のスケジューラと比べて性能にどのような影響があるか。

4. ウォームアップはどのくらいの長さにすべきか。

5. 最適化とサンプリングを結びつけられるか。まずは Welling and Teh (2011) の確率的勾配ランジュバン動力学に関する結果を使ってみよ。